実際の入試問題を使ったはいいが・・・

10分以内の解けなければ・・・

「探偵学園Q」第4話で次のようなシーンが登場する。
全寮制の学校の特進クラスという感じのネタのつもりなのだろうが、数学担当の女教師が次のように宣言する。

「これは東大の入試問題よ。10分以内にこれが解けなければ、このクラスの授業にはついてこれないわ。」

ここで取り上げられているのは実際の東京大学理系入試問題である。（2002年度第2問）

この問題は、積分方程式を題材としている。「ただひとつに定まるための条件を求めよ」という出題の仕方には少し戸惑う余地があるものの、
積分方程式を満たす $f(x)$ の決定問題としてみれば、高校数IIIの典型的な内容であるといってよいだろう。少なくとも答は合わせたい問題である*1。

この問題を解説する前に、ドラマのストーリーを追いかけてみよう。

天草リュウ登場。

ジャニーズの山田涼介演じる天草リュウが颯爽と黒板に向かう。

そしておもむろに解答を黒板に書き始めるのだ。

答案は次第に書き進められ・・・

解答を完了したリュウが、「先生、これでいいですか？」と問う。

「完璧だわ。」

なぜか少し悔しそうな女教師。

そしてリュウは颯爽と席へ戻るのであった。

ちょっと待ったぁ!!!

下の2枚の画像からわかるように

問題文が4行、そしてリュウの解答も4行である。
この問題の解答ってそんなに短い量で書ききれるものだろうか。

解答例

やはり問題の解説が必要なようである。
この積分方程式では、積分区間が $x$ に依存していないので、定積分の中で $x$ に依存しない項をくくりだして定数とおくのが定石である。以下、その方針で解答例を提示しよう。

まず、積分の中身にある題意の積分方程式中にある $\sin(x+y)$ と $\cos(x-y)$ を加法定理で分解して $x$ に関する項を積分の外に取り出し、 $x$ に依存しない定積分を
$A=\int_0^{2\pi}\cos{y}f(y)dy$ ・・・ア　　　　 $B=\int_0^{2\pi}\sin{y}f(y)dy$ ・・・イ
とおく。このとき
$f(x)=\left(1+\frac{aA}{2\pi}+\frac{bB}{2\pi}\right)\sin{x}+\left(1+\frac{aB}{2\pi}+\frac{bA}{2\pi}\right)\cos{x}$ ・・・ウ
と表せる。
次に、これをア、イ式に代入し、3つの定積分
$\int_0^{2\pi}\cos^2{y}dy=\int_0^{2\pi}\sin^2{y}dy=\pi$ ，　　　 $\int_0^{2\pi}\sin{y}\cos{y}dy=0$
を用いると、2つの等式
$A=\pi+\frac{aB}{2}+\frac{bA}{2}$ ，　　　 $B=\pi+\frac{aA}{2}+\frac{bB}{2}$
が得られる。これを $A,B$ について整理すると
$\left(1-\frac{b}{2}\right)A-\frac{a}{2}B=\pi$ ，　　　　 $-\frac{a}{2}A+\left(1-\frac{b}{2}\right)B=\pi$
という $A,B$ についての連立一次方程式が得られる。
2式を足すと
$\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right)(A+B)=2\pi$ ・・・エ
であり，2式を引くと
$\left(1-\frac{b}{2}+\frac{a}{2}\right)(A-B)=0$ ・・・オ
である．そこで，3つの場合に分けて考える。
Case.1 $\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right)=0$ の場合。エから $A,B$ は存在せず不適。
Case.2 $\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right) \neq 0$ かつ $\left(1-\frac{b}{2}+\frac{a}{2}\right)=0$ の場合。オは任意の $A,B$ について成り立つことに注意すると，エから $A+B=\frac{2\pi}{\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right)}$ をみたすすべての $A,B$ が解になる。従って、解は無数に存在し不適．
Case.3 $\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right) \neq 0$ かつ $\left(1-\frac{b}{2}+\frac{a}{2}\right) \neq 0$ の場合．オから $A=B$ 、エから $A+B=\frac{2\pi}{\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right)}$ であるから、
$A=B=\frac{\pi}{\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right)}$
となってただひとつ存在する。
このとき，ウに代入すると
$f(x)=\frac{-2}{a+b-2}(\sin{x}+\cos{x})$
であり、これは $0$ ≦ $x$ ≦ $2\pi$ で連続になっており条件に適する。
よって求める $a,b$ の条件は
$\left(1-\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\right) \neq 0$ かつ $\left(1-\frac{b}{2}+\frac{a}{2}\right) \neq 0$ $\Leftrightarrow$ $\left(1-\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2 \neq 0$
である。

なんだかずいぶん長くかかってしまった。この解答が4行にまとめられるのだろうか。

リュウの答案の検討

これからわかるように、
$f(x)=\left(1+\frac{aA}{2\pi}+\frac{bB}{2\pi}\right)\sin{x}+\left(1+\frac{aB}{2\pi}+\frac{bA}{2\pi}\right)\cos{x}$
に相当する式は、彼の答案の3行目に書かれていることがわかる。

そして次の行で答えが出るのだ。

それはありえない!!!

この問題では、ウ式をもとのア、イの式に代入して定積分を計算し、 $A,B$ による連立一次方程式を導くことが必要不可欠である。
しかし彼の答案には、この肝心な部分が完全に欠落している。
冴え渡る彼は、この部分の計算を暗算でやってのけたのだろうか。
しかしそれはありえない。前半3行はせいぜい加法定理を使うだけの計算であり、ここに3行も費やさなければならない人が、定積分の計算や連立一次方程式の導出を暗算でできるとは普通考えない。
しかも答案の中では、少なくとも連立一次方程式は明示しなければならないのであり、答案としては完全にまずい。

この答案ははっきり言っておかしい。

しかも、事態はそれだけではない。

この2枚の画像には「６」と「９」というなぞの数字が登場する。この問題の解答にこのような具体的な数字が登場する余地はない。
事態は明白である。天草リュウは、「 $b$ 」と書くべきところを「6」と書き間違え、「 $a$ 」と書くべきところを「9」と書き間違えているのである。

事態ははっきりした。
天草リュウはこの問題をその場で解いているのではない！
彼は以前にこの問題と解答をどこかで見て、それを丸写ししているのだ！

さらに、事態はそれだけではない。

彼の答案には $aet$ というなぞの文字が登場する。この問題の解答に $e,t$ などという文字が登場する余地はない。

事態は明白である。
天草リュウは、「 $\det$ 」と書くべきところを「 $aet$ 」と書き間違えているのだ。

これは、なんと $2 \times 2$ 行列だったのだ。

事態はよりいっそうはっきりした。

天草リュウは数学的内容を何も理解していない！

天草リュウの天才性は虚飾だ。

連立一次方程式の理論について

最後に登場した行列式は、連立一次方程式がただひとつの解を持つための必要十分条件を与えるものである。

$A,B$ についての連立一次方程式
$\left(1-\frac{b}{2}\right)A-\frac{a}{2}B=\pi$ ，　　　　 $-\frac{a}{2}A+\left(1-\frac{b}{2}\right)B=\pi$
が唯一つの解を持つための必要十分条件は， $A,B$ の係数を取り出して出来る $2\times 2$ 行列
$\left(\begin{array}{cc}\left(1-\frac{b}{2}\right) & -\frac{a}{2} \\ -\frac{a}{2} & \left(1-\frac{b}{2}\right)\end{array}\right)$
の行列式が零ではないことである．

これは数学的は正しいが、高校生が何の証明もなく利用してよいかどうかは議論の余地がある*2。

入試の現場では、制限時間もあるので、この部分の根拠記述は後回しにして正しい条件式だけを導いておくということが必要な可能性もある。他に解ける問題がたくさんあるなら、そちらにも時間を振り分けなければならないからだ。多くの問題集で、この部分は場合分けなしに、例えば「連立一次方程式の理論より」などという具合にさらりと流されている。

しかし、高校の教室では違う。
なんの断りもなく、上のような事実を使う場合、まず内容を理解しているかどうか、証明ができるかどうかを順次問いただしていくべきだ。
天草リュウの答案を素材にして言うと、
4行目の冒頭で「よって・・・」と書き出した段階で、まず「連立一次方程式の解の一意性」を行列式の言葉で必要十分に言い換えているという意識を持っているかどうかを問うべきである。
次に、「先生、これでいいですか」と言われたときに、使った事実の証明ができるかどうかを問うべきなのだ。

「 $\det$ 」と書くべきところを「 $aet$ 」と書き間違えているような学生は、どこかで見聞きしただけの知識を、理解しないまま遣っている可能性が極めて高い、と考えるのが当然である。

率直に言って、

この女教師は全くの無能だ！

彼女は、天草リュウの議論に致命的な欠陥があることに気が付かず、多くの書き間違えを見逃し、行列式についての理解を問うことさえもしない。そして「完璧だわ」などとお墨付きを与えてしまうのである。彼女の数学的能力は到底信用ならないし、ましてや「この問題が10分以内に解けなければ」ついてこれない授業などできるはずもない*3。

また同時に、天草リュウの答案を見て圧倒されてしまっているこのクラスの高校生たちが、「この問題が10分以内で解ける」生徒ではないということは明白であり、そもそもこの問題を解くことさえもおぼつかない生徒である可能性が高い。

茶番劇、ここに極まれり。

覚えさせるんじゃなく・・・

おそらく、キャストの山田涼介は、この問題の解答をカンペとして覚えさせられたのだろう。それを黒板の前で復元しようとして、失敗しているのだろう。
しかし、そもそもこのスペースの中に示せるだけの短い解答例ってほんとにあるんだろうかという気もする。そもそもの初めから、渡されたカンペがひどいものだった可能性もある。
別に一息で書かせる必要もないんだから、ちゃんとした正しい解答例を書けばいいじゃないかと思うのだ。
たぶんこんなワンシーンにそんな手間はかけてられなかったのだろうけれど、見る人が見れば、あきらかにおかしな解答例を掲げてしまうというのは、恥ずかしいだろう、やっぱり。

*1:但し、あとで触れるように、最後の「ただひとつ」に関する論証をどう書くかは悩ましい。

*2:上の解答例では場合をわけで議論した。もちろんこのように議論している問題集や解答集もある。

*3:しかもこの教師の問題文の書き方もよくない。黒板の問題の右の余白が大きいのだから＋以降の項も右に書くべきだ。